arcsin的原函数是什么

更新日期：2026-09-13 20:36:20

标题

arcsin的原函数是什么

内容

在微积分中，求一个函数的原函数，就是找到它的不定积分。对于反三角函数如 arcsin(x)，其原函数并不像基本初等函数那样直接，需要通过分部积分法进行推导。

一、arcsin的原函数推导过程

设 $ f(x) = \arcsin(x) $，我们要求的是：

\int \arcsin(x) \, dx

使用分部积分法（即 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$）：

- 令 $ u = \arcsin(x) $，则 $ du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx $

- 令 $ dv = dx $，则 $ v = x $

代入公式得：

\int \arcsin(x) \, dx = x \cdot \arcsin(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx

接下来计算第二项：

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx

令 $ t = 1 - x^2 $，则 $ dt = -2x dx $，即 $ x dx = -\frac{1}{2} dt $，代入后得：

\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t} + C = -\sqrt{1 - x^2} + C

所以最终结果为：

\int \arcsin(x) \, dx = x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C

二、总结

函数	原函数（不定积分）
$ \arcsin(x) $	$ x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C $

三、注意事项

- 上述结果是针对实数域内的定义域 $ [-1, 1] $。

- 在实际应用中，可能需要根据具体问题添加常数项 $ C $。

- 若题目中要求定积分，则需代入上下限进行计算。

四、结论

arcsin(x) 的原函数是：

x \cdot \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2} + C

这一结果在物理、工程和数学分析中都有广泛应用，尤其在涉及反三角函数的积分问题中非常常见。

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